Đặt: \(d=\left(n^3+2n;n^4+3n^2+1\right)\)

=> \(\hept{\begin{cases}n^3+2n⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}\Rightarrow}\hept{\begin{cases}n^4+2n^2=n\left(n^3+2n\right)⋮d\\n^4+3n^2+1⋮d\end{cases}}\)

=> \(\left(n^4+3n^2+1\right)-\left(n^4+2n^2\right)⋮d\)

=> \(n^2+1⋮d\)

=> \(n\left(n^2+1\right)⋮d\)

=> \(n^3+n⋮d\)

=> \(\left(n^3+2n\right)-\left(n^3+n\right)⋮d\)

=> \(n⋮d\)mà \(n^4+3n^2+1⋮d\)

=> \(1⋮d\)

=> d = 1

=> \(\left(a;b\right)=1\)

3n-1\(⋮\)n+1

3(n+1)\(⋮\)n+1

3n-1+3(n+1)\(⋮\)n+1

3n-1+3n-3\(⋮\)n+1

4\(⋮\)n+1

\(\Rightarrow\)n+1={1;2;4}

\(\Rightarrow\)n={0;1;3}

Thêm vào cuối

n={0;1;3}

(2n+3)\(⋮\)(2n+2)

(2n+2)+1\(⋮\)(2n+2)

(2n+2)\(⋮\)(2n+2)

Buộc 1 \(⋮\)(2n+2)=>(2n+2)ϵƯ(1)={1}

Với 2n + 2=1=>không có giá trị của n nào thoả mãn.

Bài 1:

a)2n+5chia hết cho n+1<=>2(n+1)+3 chia hết cho n+1=>3 chia hết cho n+1 mà n thuộc N

=>n+1 thuộc {1;3}

=>n thuộc{0;2}

b)4n-7chia hết cho n-1<=>4(n-1)-3chia hết cho n-1=>3chia hết cho n-1 mà n thuộc N

=>n-1 thuộc{-1;1;3}

=>n thuộc {1;2;4}

c)10-2n chia hết cho n-2<=>14-2(n-2) chia hết cho n-2 =>14 chia hết cho n-2 mà n thuộc N

=>n-2 thuộc {-2;-1;1;2;7;14}

=>n thuộc {0;1;3;4;9;16}

d)5n-8 chia hết cho 4-n <=>5(4-n)-28 chia hết cho n-4=>28chia hết cho n-4 mà n thuộc N

=>n-4 thuộc {-4;-2;-1;1;2;4;7;14;28}

=>n thuộc{0;2;3;5;6;8;11;18;32}

e)n²+3n+6 chia hết cho n-3<=>-n(n-3)+6 chia hết cho n-3=>6 chia hết cho n-3 mà n thuộc N

=>n-3 thuộc{-3;-2;-1;1;2;3;6}

=>n thuộc{0;1;2;4;5;6;9}

Bài 2:

a)A=2+2²+2³+...+2¹⁰⁰ chia hết cho 2

A=2+2²+2³+2⁴+...+2⁹⁹+2¹⁰⁰

A=2(1+2)+2³(1+2)+...+2⁹⁹(1+2) chia hết cho 1+2<=>A chia hết cho 3

A=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+...+2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰

A=2(1+2+2²+2³)+2⁴(1+2+2²+2³)+...+2⁹⁷(1+2+2²+2³)=>A chia hết cho 1+2+2²+2³ <=>Achia hết cho 15

b)A chia hết cho 2 => A là hợp số

c)A=2+2²+2³+2⁴+2⁵+2⁶+2⁷+2⁸+...+2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰

A=(2+2²+2³+2⁴⁾+(2⁵+2⁶+2⁷+2⁸⁾+...+(2⁹⁷+2⁹⁸+2⁹⁹+2¹⁰⁰)

A=(2^4n₁-3+2^4n₁-3+2^4n₁-1+2^4n₁)+(2^4n₂-3+2^4n₂-3+2^4n₂-1+2^4n₂)+...+(2^4n₂₅-3+2^4n₂₅-3+2^4n₂₅-1+2^4n₂₅)

A=(...2+...4+...8+...6)+(...2+...4+...8+...6)+...+(...2+...4+...8+...6)

A=...0+...0+...+...0

A=0

Bài 3:

a)gọi UCLN của 2n+1 và 3n+1 là d

2n+1 chia hết cho d => 6n+3 chia hết cho d 

3n+1 chia hết cho d =>6n+2 chia hết cho d 

=>6n+3-(6n+2) chia hết cho d 

1 chia hết cho d 

=>d =1=>UCLN cua 2n+1 va 3n+1 chia hết cho d  

b)Gọi UCLN cua 9n+13và 3n+4 là m

9n+13 chia hết cho m

3n+4 chia hết cho m=>9n+12 chia hết cho m

=>9n+13-(9n+12) chia hết cho m

1 chia hết cho m 

=> m=1

=> UCLN cua 9n+13 va 3n+4 là1

c) gọi UCLN cua 2n+1 và 2n+3 là n

2n+3 chia hết cho n

2n+1 chia hết cho n

2n+3-(2n+1) chia hết cho n

2chia hết cho n

n thuộc {1,2}

 => UCLN của 2n+1 và 2n+3 là 1 hoặc 2

Bài 4:

a) Gọi UCLN của 7n+10 và 5n+7 là m

7n+10 chia hết cho m<=>35n+50 chia hết cho m

5n+7 chia hết cho m<=>35n+49 chia hết cho m

=>35n+50-(35n+49) chia hết cho m

1 chia hết cho m

m=1

=> UCLN của 7n+10 và 5n+7 là 1=>7n+10 và 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nha

b)Gọi UCLN cua 2n+3 và 4n+7 là d

2n+3 chia hết cho d <=>4n+6 chia hết cho d

4n+7 chia hết cho d 

=>4n+7-(4n+6) chia hết cho d 

1 chia hết cho d 

d=1

=>UCLN của 4n+7 và 2n+3 là 1=>4n+7 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau

dài thấy mợ luôn để t lm đc bài nào thì t lm

a)2n+5chia hết cho n+1<=>2(n+1)+3 chia hết cho n+1=>3 chia hết cho n+1 mà n thuộc N

=>n+1 thuộc {1;3}

=>n thuộc{0;2}

b)4n-7chia hết cho n-1<=>4(n-1)-3chia hết cho n-1=>3chia hết cho n-1 mà n thuộc N

=>n-1 thuộc{-1;1;3}

=>n thuộc {1;2;4}

c)10-2n chia hết cho n-2<=>14-2(n-2) chia hết cho n-2 =>14 chia hết cho n-2 mà n thuộc N

=>n-2 thuộc {-2;-1;1;2;7;14}

=>n thuộc {0;1;3;4;9;16}

d)5n-8 chia hết cho 4-n <=>5(4-n)-28 chia hết cho n-4=>28chia hết cho n-4 mà n thuộc N

=>n-4 thuộc {-4;-2;-1;1;2;4;7;14;28} 

=>n thuộc{0;2;3;5;6;8;11;18;32}

e)n^2+3n+6 chia hết cho n-3<=>-n(n-3)+6 chia hết cho n-3=>6 chia hết cho n-3 mà n thuộc N

=>n-3 thuộc{-3;-2;-1;1;2;3;6}

=>n thuộc{0;1;2;4;5;6;9}

Bài 2:

a)A=2+2^2+2^3+...+2^100  chia hết cho 2

A=2+2^2+2^3+2^4+...+2^99+2^100

A=2(1+2)+2^3 (1+2)+...+2^99 (1+2) chia hết cho 1+2<=>A chia hết cho 3

A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+...+2^97+2^98+2^99+2^100

A=2(1+2+2^2+2^3 )+2^4 (1+2+2^2+2^3 )+...+2^97 (1+2+2^2+2^3 )=>A chia hết cho 1+2+2^2+2^3 <=>Achia hết cho 15

b)A chia hết cho 2 => A là hợp số.

c)A=2+2^2+2^3+2^4+2^5+2^6+2^7+2^8+...+2^97+2^98+2^99+2^100

A=(2+2^2+2^3+2^4)+(2^5+2^6+2^7+2^8)+...+(2^97+2^98+2^99+2^100 )

A=(2^{4n1 -3}+2^{4n1 -3}+2^{4n1 -1}+2⁴ⁿ¹)+(2^{4n2 -3}+2^{4n2 -3}+2^{4n2 -1}+2⁴ⁿ²)+...+(2^{4n25 -3}+2^{4n25 -3}+2^{4n25 -1}+2⁴ⁿ²⁵)

A=(...2+...4+...8+...6)+(...2+...4+...8+...6)+...+(...2+...4+...8+...6)

A=...0+...0+...+...0.

A=....0

Bài 3:

a)gọi UCLN của 2n+1 và 3n+1 là d 

2n+1 chia hết cho d => 6n+3 chia hết cho d  

3n+1 chia hết cho d =>6n+2 chia hết cho d 

=>6n+3-(6n+2) chia hết cho d 

1 chia hết cho d 

=>d =1=>UCLN cua 2n+1 va 3n+1 chia hết cho d 

b)Gọi UCLN cua 9n+13và 3n+4 là m

9n+13 chia hết cho m

3n+4 chia hết cho m=>9n+12 chia hết cho m

=>9n+13-(9n+12) chia hết cho m

1 chia hết cho m 

=> m=1

=> UCLN cua 9n+13 va 3n+4 là1

c) gọi UCLN cua 2n+1 và 2n+3 là n

2n+3 chia hết cho n

2n+1 chia hết cho n

2n+3-(2n+1) chia hết cho n

2chia hết cho n

n thuộc {1,2}

=> UCLN của 2n+1 và 2n+3 là 1 hoặc 2

Bài 4:

a) Gọi UCLN của 7n+10 và 5n+7 là m

7n+10 chia hết cho m<=>35n+50 chia hết cho m

5n+7 chia hết cho m<=>35n+49 chia hết cho m

=>35n+50-(35n+49) chia hết cho m

1 chia hết cho m

m=1

=> UCLN của 7n+10 và 5n+7 là 1=>7n+10 và 5n+7 là 2 số nguyên tố cùng nha 

b)Gọi UCLN cua 2n+3 và 4n+7 là d

2n+3 chia hết cho d <=>4n+6 chia hết cho d

4n+7 chia hết cho d

=>4n+7-(4n+6) chia hết cho d 

1 chia hết cho d 

d=1

=>UCLN của 4n+7 và 2n+3 là 1=>4n+7 và 2n+3 là 2 số nguyên tố cùng nhau.

bài 5:

a) Ta có bảng:

a    1     2    3    4    6      12

b    12    6   4    3    2      1

Vậy (a,b) thuộc {(1;12)(2;6)(3;4)(4;3)(6;2)(12;1)} 

b) Ta có bảng

a-1    1     7

b+2    7    1

a      2      8

b       5    -1

Mà a,b thuộc N Vậy a=2;b=5

c)

a=9a'

b=9b' với UCLN(a',b')=1

a+b=72

9(a'+b')=72

a'+b'=72 : 9=8

mà UCLN(a';b')=1 ta có bảng

a'      1   3   5   7 

b'      7   5   3   1

a      9  27  45 63

b      63 45 27   9 

vay a;b thuộc{(9;63)(27;45)(45;27)(6

a.1

b.1

c.1

Giải thế ai hiểu nổi hả trời???

a: UCLN(3n+1;3n+10)=9

Lời giải:

a. Gọi d là ƯCLN của $3n+1, 3n+10$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 3n+1\vdots d\\ 3n+10\vdots d\end{matrix}\right.\Rightarrow (3n+10)-(3n+1)\vdots d\)

\(\Rightarrow 9\vdots d\)

\(\Rightarrow d=\left\{1;3;9\right\}\)

Mà $3n+1\vdots d$ nên $d$ không thể là $3,9$

$\Rightarrow d=1$

Vậy ƯCLN $(3n+1,3n+10)=1$

b.

Gọi $d$ là ƯCLN $(2n+1,n+3)$

\(\Rightarrow \left\{\begin{matrix} 2n+1\vdots d\\ n+3\vdots d\end{matrix}\right.\left\{\begin{matrix} 2n+1\vdots d\\ 2n+6\vdots d\end{matrix}\right.\)

\(\Rightarrow (2n+6)-(2n+1)\vdots d\Rightarrow 5\vdots d\)

\(\Rightarrow d\in\left\{1;5\right\}\)
 

A, 

Từ đề bài ta có

\(2n+3;2n+2⋮d\Rightarrow\left(2n+3\right)-\left(2n+2\right)⋮d\)

\(\Rightarrow1⋮d\)

suy ra d=1 suy ra đpcm

B nhân 3 vào số đầu tiên

nhâm 2 vào số thứ 2

rồi trừ đi được đpcm

C,

Nhân 2 vào số đầu tiên rồi trừ đi được đpcm